三、数理建模视角
1. 干支序号上的确定函数
设年份 y，其干支序号 g = (y − 4) mod 60（以甲子为 0），则：
- 天干序号 g mod 10 决定中运：映射表 {甲己→土, 乙庚→金, 丙辛→水, 丁壬→木, 戊癸→火}；g mod 2 = 0 为太过，= 1 为不及
- 地支序号 g mod 12 决定司天：映射表 {子午→少阴君火, 丑未→太阴湿土, 寅申→少阳相火, 卯酉→阳明燥金, 辰戌→太阳寒水, 巳亥→厥阴风木}
- 在泉 = 司天在六气轮序上平移三位（mod 6）
- 客气六步：第 i 步客气 = 司天在轮序上平移 (i − 3) 位
示例：1986 年，g = (1986−4) mod 60 = 2，干支丙寅；丙→水运太过；寅→少阳相火司天，厥阴风木在泉。整个体系的输入只有一个整数（年份），输出全部运气参数——这是"年 → 气候参数向量"的纯函数，无任何自由参数，其结构之确定在传统术数中最为突出。
五运六气 · 干支周期时序演示
拖动年份滑块，观察干支纪年 g=(y−4) mod 60 如何同时决定中运（十干化运）与 司天/在泉（十二支化气），并生成客气六步序列。
主气与客气六步（一年二十四节气分为六段）
| 步 | 节气区间 | 主气（年年不变） | 客气（随年轮转） |
|---|---|---|---|
| 1 | 大寒 → 春分 | 厥阴风木 | 少阳相火 |
| 2 | 春分 → 小满 | 少阴君火 | 阳明燥金 |
| 3 | 小满 → 大暑 | 少阳相火 | 太阳寒水司天 |
| 4 | 大暑 → 秋分 | 太阴湿土 | 厥阴风木 |
| 5 | 秋分 → 小雪 | 阳明燥金 | 少阴君火 |
| 6 | 小雪 → 大寒 | 太阳寒水 | 太阴湿土在泉 |
教学要点
五运六气把 60 年干支周期展开为两层函数：天干 → 五运（周期 10），地支 → 六气（周期 12），二者叠加得到 60 年全周期。客气六步以司天居第三步、在泉居第六步， 是六气序列的循环移位（qi_i = s + (i−3) mod 6）。这是古人以周期函数拟合 气候与物候节律的数学尝试，属于历史数理模型，不构成现代医学依据。
2. 周期的最小公倍结构
运气体系的基本周期叠加如下：
- 五行之运：周期 10 年（十干循环）
- 六气司天：周期 12 年（十二支循环）
- 二者最小公倍数 60 年，即一甲子；《素问》"三十年为一纪，六十年为一周"正对应 60 = lcm(10, 12) 的数学事实
- 岁内层次：五运分五步（73.05 日/步）、六气分六步（60.875 日/步），5 与 6 的最小公倍为 30 步，构成运与气的年内耦合周期——三十年 360 步恰好是运气两套步制的最小公共采样网格
3. 叠加波模型
主气可视作固定的年周期基波（六段相位），客气是随司天逐年平移的相位调制波，客主加临即两列波的逐段干涉分析。中运则提供全年幅值修正（太过为幅值放大、不及为幅值衰减）。这一"基波 + 调制 + 幅值修正"的三层叠加结构，与现代信号处理中的调制模型在形式上完全对应——当然这是结构类比，不等于物理机制的等同。
从信号处理视角还可以看出：运气模型的频率成分完全离散（10 年、12 年、60 年、年内 5/6 步），没有任何连续谱成分，因此它只能描述周期现象，无法描述趋势与突变——这从模型结构上划定了它的适用边界。
4. 与现代周期现象的统计对照
学界曾就运气周期与太阳黑子活动周期（约 11 年）、厄尔尼诺现象周期、疫病流行周期做过统计对照研究，结论不一。值得注意的是：运气体系的 10 年、12 年成分与太阳活动周期（11 年）及行星会合周期（木土会合约 19.86 年，与运气"三十步"年际结构接近）存在数值上的近似，但相关不等于因果。教学立场应当明确：运气学是古人基于长期物候与疾病观察建立的经验周期模型，其价值在于周期框架本身的完整性，而非对具体年份的精确预测。研究其与现代周期数据的对应关系，属于科学史与统计学课题，须以严格的统计检验为准。
5. 六十年格局的组合枚举
运气体系的全部格局空间可以精确计数：60 年 × 6 步客主加临 = 360 个加临位；天符 12 年、岁会 8 年（诸家计数小异）、太一天符 4 年，平气年另计。这意味着一个完整的"六十年运气历"是一张 60 行 × 多列参数的大表，任何两个甲子年（如 1924 与 1984）的全部运气参数逐位相同——周期闭合性可以作为程序验证的判据：对任意 y，参数向量 P(y) = P(y+60)。